雖然說 Mathematica 對(duì)于很多新手來說還很陌生，或者有用戶會(huì)說考試?yán)锩娌荒苁褂?，但是在人工智能越來越普及的時(shí)代，能夠用先進(jìn)手段幫助我們快速驗(yàn)證想法和復(fù)盤已經(jīng)做過的練習(xí)會(huì)有相當(dāng)大的幫助。特別是應(yīng)用計(jì)算機(jī)之后產(chǎn)生的直觀結(jié)果和對(duì)于紙面結(jié)果的推廣和驗(yàn)證，是傳統(tǒng)方式難以實(shí)現(xiàn)的。下面我簡單談一談我是如何使用 Mathematica 幫助理解這道問題的。

淺析理科高考?jí)狠S如意函數(shù)

每到高考結(jié)束，語文卷的作文題和數(shù)學(xué)的壓軸題總會(huì)得到青睞。它們即使表示考試的結(jié)束，也是開啟大學(xué)之門的鑰匙。今年也不例外。有些不同的是，今年的壓軸題看上去非常簡單，好像隨便一猜就有結(jié)果。這樣一想就中了出題人的圈套了。

 

原題 

解答

對(duì)于 a 的取值范圍，我們可以首先給 a 劃定一個(gè)定性的范圍，然后掃描一下結(jié)果就可以得到一個(gè)初步的認(rèn)知。對(duì)原題稍作變化，將不等式右側(cè)移到左側(cè)，那么原問題就是找到相應(yīng)的 a 使得新的左側(cè)項(xiàng)在 x 不小于零的范圍恒大于零。按照我們的直觀感受來看，如果 a 很大，那么左側(cè)一定可以是恒大于零。給定一個(gè)數(shù)字并對(duì) x 在零附近的時(shí)候驗(yàn)證一下。因?yàn)樵摬坏仁阶髠?cè)包含指數(shù)函數(shù)，其余都是多項(xiàng)式，所以 x 很大時(shí)候就是指數(shù)函數(shù)。

上圖符合我們的猜測。那么如果 a 很小呢？剩下的多項(xiàng)式里面可能就不是單調(diào)。我們可以改變參數(shù) a 將圖像畫在兩個(gè)不同的區(qū)間。在原點(diǎn)附近時(shí)，函數(shù)值為負(fù)數(shù)；因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)增長很快，逐漸離開原點(diǎn)以后為正。如果 a 繼續(xù)變小，那么原點(diǎn)附近就會(huì)更向下彎曲，所以我們不需要再測更小的參數(shù) a 了。

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接下來我們就可以玩一玩滑動(dòng)模塊來顯示我們所要研究的函數(shù)究竟是如何根據(jù) a 的變化而變化的。在變化過程中我們也將注意到本問題的真正難點(diǎn)。當(dāng) a 不斷得從較小的負(fù)數(shù)增長時(shí)，函數(shù)的形狀回發(fā)生四個(gè)主要的變化,其中三個(gè)都還是保留如意形狀。最終形態(tài)是單調(diào)函數(shù)。

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圖的編號(hào)為1至4，從左往右。對(duì)于 a 的臨界情況來看，應(yīng)該發(fā)生在圖 2 和 3 之間：

在滑動(dòng) a 至大約 -0.097 的時(shí)候，我們可以看到圖的結(jié)果是在臨界位置。

在這個(gè)時(shí)刻，這個(gè)函數(shù)出現(xiàn)了兩個(gè)拐點(diǎn)(大約在橫坐標(biāo)等于 0.5 和 1.5 )并且在 2.0 附近函數(shù)與橫坐標(biāo)相切。那么現(xiàn)在我們就可以對(duì)這個(gè)具體的時(shí)刻進(jìn)行求解。切線斜率：

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 聯(lián)立方程得到實(shí)數(shù)域上精確結(jié)果：

我們又可以驗(yàn)證是否出現(xiàn)我們上圖中看到的兩個(gè)拐點(diǎn)。根據(jù)定義我們可以連續(xù)求導(dǎo)兩次找到凹凸性變化的位置：

利用數(shù)值方法找到具體位置：

可以最終標(biāo)記出所有關(guān)鍵位置的點(diǎn)：

小結(jié)

• 定性分析 a 在一個(gè)粗糙范圍內(nèi)變化對(duì)于函數(shù)的影響

• 利用 Manipulate 發(fā)現(xiàn)函數(shù)值隨著參數(shù)變化以后單調(diào)性的影響
• 利用 Solve 和 D 符號(hào)計(jì)算功能將臨界情況變成可求解的聯(lián)立方程
• 驗(yàn)證拐點(diǎn)和非原點(diǎn)的最小值/極小值情況
• 本文主要是從一個(gè)比較直觀的角度進(jìn)行快速分析，省略了一些具體證明步驟。
• 這些步驟可以從官方標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行查找

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